La explicación de Emestrada no me convence, ¿alguien puede hacerlo? Gracias!

Discuta la veracidad de la siguiente afirmación: “Cuanto mayor sea la altura de la órbita de un satélite sobre la superficie terrestre, mayor es su energía mecánica y, por tanto, mayores serán tanto la energía cinética como la energía potencial del satélite”.

Estudiante Preguntó hace en 30 junio 2020 en Física.
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2 respuesta(s)

Necistamos la expresión de la energía potencial con referencia en la superficie de la tierra (h):
E_p = m·g·h (Ojo, al considerar g constante estamos ignorando la variación de g con la altura, que a distancias orbitales –cientos de km– no debería ser muy grande)

También la energía cinética:
E_k = \frac{m v^2}{2}

¿Pero cuál es esta velocidad? La velocidad orbital, que se deduce de la segunda Ley de Newton, y da
v_{orb} = \sqrt{\frac{G·m_T}{r_{orb}}}

Con lo cual, tenemos que la energíac inética es:

E_k = \frac{m G m_T}{2 r_{orb}} = \frac{m G m_T}{2 (h+r_T)}

Con lo cual, tenemos energía mecánica en función de la altura sobre la superficie:

E = E_p + E_k = m \left[ g·h + \frac{G m_T}{2 (h+r_T)} \right]

Bien, de esta expresión ya puedes sacar conclusiones. Con obtener su derivada respecto a  h, y comprobar que es definida positiva para todo h>0 quedaría demostrado.

Universitario Respondió hace en 30 junio 2020
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Después de editar la repsuesta viendo que hay escritura con latex, amplio un poco la respuesta.

Tras sacar la derivada de E respecto a h, tienes que plantear la inecuación:

\frac{dE}{dh} \geq 0.

De aquí podrás despejar el valor mínimo de h para el cual la curva de Ep tiene pendiente positiva. Pueden pasar dos cosas.

  • Si el h sale o igual o menor que 0, la afirmación queda demostrada.
  • En caso contrario, habrías demostrado que hasta a cierta altura (donde la derivada se anula), la energía de los satélites disminuye conforme aumenta h (derivada negativa), y que a partir esa altura la energía mecánica aumenta de forma monótona (derivada positiva).

 

Universitario Respondió hace en 30 junio 2020
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